Dízimas periódicas

Já sabemos que os números não têm limites para crescer, seja em sentido positivo ou negativo. Apesar disso, um número deve ter um valor definido e finito de casas inteiras, mesmo não havendo limites. Mas e as casas decimais? Aí já é outra história; é a história das dízimas periódicas. 

  Basicamente, dízimas periódicas são sequências de dígitos decimais que se repetem infinitamente. Dízimas são geradas por geratrizes, que são frações cujo valor da divisão possui uma dízima. Por exemplo, a fração 1/3 é a geratriz da dízima 0,333...∞, onde o período é 3. Frações equivalentes de geratrizes serão, evidentemente, geratrizes da mesma dízima (por exemplo, 1/3 e 3/9 compartilham a dízima 0,333...).

  Podemos usar uma fórmula para calcular qual a fração geratriz de uma dízima (ou, pelo menos, uma das geratrizes da dízima). Esta fórmula funciona apenas para dízimas periódicas simples, onde a parte decimal é completamente periódica (como em 0,333... ou 4,357357357...), então não serve para dízimas compostas, onde a parte decimal é parcialmente periódica (como em 0,1222... ou 2,138545454...).

     A fórmula é:                     

                          [período]

[parte inteira]+––––––––

                                                                                           9 (quantia de 9= algarismos do período)

Exemplo: 0,333...

              3

                               0+––– = 3/9 ou 1/3

              9

Exemplo: 4,357357357
   357
                  4+––––= 4353/999

  999

Fontes: Aula de matemática e Google pelas imagens